设平面上向量A=（cosx,sinx）0度＜X＜360度,B=（-1/2,√3/2）①求证向量A+B与向量A-B垂直②当两个向量√3A+B与A√3B的模相等时,求角A?

Question

设平面上向量A=（cosx,sinx）0度＜X＜360度,B=（-1/2,√3/2）
① 求证向量A+B与向量A-B垂直
② 当两个向量√3A+B与A√3B的模相等时,求角A?

Answer 1

①A+B=(cosx-1/2,sinx+√3/2),A-B=(cosx+1/2,sinx-√3/2)
(A+B)(A-B)=(cosx-1/2)(cosx+1/2)+(sinx+√3/2)(sinx-√3/2)
=cos²x-1/4+sin²x-3/4=1-1=0
所以向量A+B与向量A-B垂直
②√3A+B=(√3cosx-1/2,√3sinx+√3/2),A+√3B=(cosx+√3/2,sinx-3/2)
√3A+B的模为√[(√3cosx-1/2)²+(√3sinx+√3/2)²]=√(4+3sinx-√3cosx)
A+√3B的模√[(cosx+√3/2)²+(sinx-3/2)²]=√(4-3sinx+√3cosx)
当两个向量√3A+B与A√3B的模相等时,则4+3sinx-√3cosx=4-3sinx+√3cosx
即6sinx-2√3cosx=0
即4√3(√3/2sinx-1/2cosx)=0
即cos30°sinx-sin30°cosx=0
所以sin(x-30°)=0
所以x=30°或210°