证明四边形内角和为360度的四个方法

Question

证明四边形内角和为360度的四个方法

Answer 1

下面给出凸四边形内角和为360°的证明.［对于凹四边形的情况留给你尝试证明］
ABCD是凸四边形,证明：∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＋∠BAD＝360°.
方法一：
连结AC.
由三角形内角和定理,有：
∠ADC＋∠DAC＋∠DCA＝180°、∠ABC＋∠BAC＋∠BCA＝180°,
两式相加,得：∠ADC＋（∠DAC＋∠BAC）＋（DCA＋∠BCA）＋∠ABC＝360,
∴∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＋∠BAD＝360°.
方法二：
在ABCD内任取一点O,则：∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠AOD＝360°.
由三角形内角和定理,有：
∠OAB＋∠OBA＋∠AOB＝180°、　∠OBC＋∠OCB＋∠BOC＝180°、
∠OCD＋∠ODC＋∠COD＝180°、　∠OAD＋∠ODA＋∠AOD＝180°,
上述四个式子相加,得：
（∠OAB＋∠OAD）＋（∠OBA＋∠OBC）＋（∠OCB＋∠OCD）＋（∠ODC＋∠ODA）
＋（∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠AOD）＝720°,
∴∠BAD＋∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＋360°＝720°,
∴∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＋∠BAD＝360°.
方法三：
1、当DC∥AB时,显然有：∠ADC＋∠BAD＝180°、∠ABC＋∠BCD＝180°,
　　两式相加,得：∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＋∠BAD＝360°.
2、当DC、AB不平行时,过A作AE∥DC交直线BC于E.
　　①、当E在BC上时,由方法三中的1,有：∠ADC＋∠DAE＋∠AEC＋∠ECD＝360°,
　　由三角形外角定理,有：∠AEC＝∠BAE＋∠ABC,
　　∴∠ADC＋（∠DAE＋∠BAE）＋∠ABC＋∠BCD＝360°,
　　∴∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＋∠BAD＝360°.
　　②、当E在CB的延长线上时,由方法三中的1,有：
　　∠ADC＋（∠BAD＋∠BAE）＋∠AEC＋∠BCD＝360°,
　　∴∠ADC＋∠BAD＋（∠BAE＋∠AEC）＋∠BCD＝360°,
　　由三角形外角定理,有：∠ABC＝∠BAE＋∠AEC,
　　∴∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＋∠BAD＝360°.
方法四：
一、当AD∥BC时,由方法三中的1,显然有：∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＋∠BAD＝360°.
二、当AD、BC不平行时,不失一般性,设AD、BC的延长线相交于F.
　　由三角形内角和定理,有：
　　∠BAD＋∠ABC＋∠F＝180°、∠FDC＋∠FCD＋∠F＝180°,
　　两式相加,得：∠BAD＋∠ABC＋∠FDC＋∠FCD＋2∠F＝360.······①
　　由三角形外角定理,有：
　　∠ADB＝∠FCD＋∠F、∠BCD＝∠FDC＋∠F,两式相加,得：
　　∠ADB＋∠BCD＝∠FCD＋∠FDC＋2∠F.······②
　　①＋②,得：∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＋∠BAD＝360°.