求解一道概率题10个人随机进入15个房间（每个房间容纳人数不限）,用随机变量X表示有人的房间数,则X的数学期望为?以Xi表示第i个房间有人的状态,即Xi=0表示无人,Xi=1表示有人.则X=X1+X2+...+X15

Question

求解一道概率题
10个人随机进入15个房间（每个房间容纳人数不限）,用随机变量X表示有人的房间数,则X的数学期望为?
以Xi表示第i个房间有人的状态,即Xi=0 表示无人,Xi=1表示有人.则X=X1+X2+...+X15 .
10个人随机进入15个房间,则每人进入第i个房间的概率是1/15,第i个房间无人等价于10个人均没有进入第i个房间,其概率为(1-1/15)的10次幂,则E(X i) =1-(1-1/15)的10次幂.X的期望为15个上述数的和.这样算下来结果是7.476,可是答案是7.74,我哪里算错了?PS.精算师08年样题,
如果有错，请把正确解法写下，想了好几个小时这题

Answer 1

回答：是答案错了!
任意一个房间无人的概率是p=(14/15)^10,有人的概率就是1-p = 1-(14/15)^10.那么,有人的房间数X的期望值就是
15(1-p)
= 15 x [1-(14/15)^10]
= 7.4758.
“飘尘既落”说的对,各个房间不相互独立.但是,“和的均值等于均值的和”这一点不受影响,而且和“二项分布”的均值等同.不过,方差的计算就受到影响了.也就是说,“和的方差不等于方差的和”了.