如图所示，两个半径均为R的光滑阅弧形轨道，竖直放置，圆心在同一高度，一倾角为37°的固定斜面与两圆弧轨道相切于C、D（斜面与左侧圆弧轨道的缝隙可以忽略不计），一质量为m的物块

Question

如图所示，两个半径均为R的光滑阅弧形轨道，竖直放置，圆心在同一高度，一倾角为37°的固定斜面与两圆弧轨道相切于C、D（斜面与左侧圆弧轨道的缝隙可以忽略不计），一质量为m的物块（可看成质点）放在光滑水平面的A点，左侧圆弧轨道与水平轨道相切．
（1）若斜面是光滑的，要使物块能到达E点，则物块在A点的初速度至少多大？
（2）若物块与斜面的动摩擦因数为μ=0.3，则要使物块能到达E点，在A点的初速度至少多大？

Answer 1

（1）物块刚好到达E点时由重力提供向心力，由牛顿第二定律得：
mg=m(v2E)/(R)，
得：v_E=√(gR)
从A到E，由机械能守恒定律得：
(1)/(2)m

v

2 0

=2mgR+(1)/(2)m

v

2 E

联立解得：v₀=√(5gR)
（2）斜面CD的长度为：S=(2Rcos37°)/(sin37°)=(8)/(3)R
根据动能定理得：(1)/(2)m

v

′2 0

=2mgR+(1)/(2)m

v

2 E

+μmgScos37°
解得

v

′ 0

=√(6.28gR)
答：（1）物块在A点的初速度至少为√(5gR)．
（2）物块在A点的初速度至少为√(6.28gR)．