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在四边形ABCD中,延长CD至E,使得CE=BD,连接AE,∠ABD的角平分线与AE相交于点F.(1)如图1,当四边形ABCD为正方形时,连接AC交BF于G,求证:AF=FG;(2)如图2,当四边形ABCD为平行四边形时,
题目详情
在四边形ABCD中,延长CD至E,使得CE=BD,连接AE,∠ABD的角平分线与AE相交于点F.
(1)如图1,当四边形ABCD为正方形时,连接AC交BF于G,求证:AF=FG;
(2)如图2,当四边形ABCD为平行四边形时,判断线段AF与EF的数量关系,并证明你的判断.
(1)如图1,当四边形ABCD为正方形时,连接AC交BF于G,求证:AF=FG;
(2)如图2,当四边形ABCD为平行四边形时,判断线段AF与EF的数量关系,并证明你的判断.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1,当四边形ABCD为正方形时,AC=BD,∠ACD=45°,
∵CE=BD,
∴AC=EC,
∴等腰三角形ACE中,∠EAC=(180°-45°)÷2=67.5°,
∵BG平分∠ABD,∠ABD=∠BAC=45°,
∴∠ABG=22.5°,
∴∠AGF=∠ABG+∠BAG=45°+22.5°=67.5°,
∴∠EAC=∠AGF,
∴AF=FG;
(2)线段AF与EF相等.
如图2,延长BF、CE交于点G,
当四边形ABCD为平行四边形时,AB∥CD,
∴∠ABF=∠G,
∵BG平分∠ABD,
∴∠ABF=∠DBG,
∴∠G=∠DBG,
∴BD=GD,
又∵CE=BD,
∴CE=GD,
∴CD=GE,
又∵平行四边形ABCD中,AB=CD,
∴AB=EG,
由∠ABF=∠DBG,∠AFB=∠EFG,AB=EG,可得△ABF≌EGF(AAS),
∴AF=EF.
∵CE=BD,
∴AC=EC,
∴等腰三角形ACE中,∠EAC=(180°-45°)÷2=67.5°,
∵BG平分∠ABD,∠ABD=∠BAC=45°,
∴∠ABG=22.5°,
∴∠AGF=∠ABG+∠BAG=45°+22.5°=67.5°,
∴∠EAC=∠AGF,
∴AF=FG;
(2)线段AF与EF相等.
如图2,延长BF、CE交于点G,
当四边形ABCD为平行四边形时,AB∥CD,
∴∠ABF=∠G,
∵BG平分∠ABD,
∴∠ABF=∠DBG,
∴∠G=∠DBG,
∴BD=GD,
又∵CE=BD,
∴CE=GD,
∴CD=GE,
又∵平行四边形ABCD中,AB=CD,
∴AB=EG,
由∠ABF=∠DBG,∠AFB=∠EFG,AB=EG,可得△ABF≌EGF(AAS),
∴AF=EF.
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