有一个正三角形网格,其中每个小正三角形的边长都是a,现有一直径为a/2的硬币落下,求有公共点的概率

Question

有一个正三角形网格,其中每个小正三角形的边长都是a,现有一直径为a/2的硬币落下,求有公共点的 概率

Answer 1

直径为a/2的硬币落在某个小正三角形(边长是a)内,其边缘位置是与其中两条边相切,其圆心若在由三个边缘位置的点所组成的三角形内时,与网格没有公共点
由三个边缘位置的点所组成的三角形的边长为：
a-2*√3a/4=(2-√3)a/2
没有公共点的概率是：
边长为(2-√3)a/2的正三角形面积/边长为a的正三角形面积
没有公共点的概率:[(2-√3)a/2]^2/a^2=(7-4√3)/4
有公共点的概率:1-(7-4√3)/4=(4√3-3)/4