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求证:四边形的内角和等于360度.
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求证:四边形的内角和等于360度.
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答案和解析
证明:添加适当的平行线,将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角.在添加平行线中,尽可能利用原来的内角及边,应能减少推理过程.
如图所示,四边形ABCD中,过顶点B引BE∥AD,BF∥CD,并延长AB,CB到H,G.则有∠A=∠2(同位角相等),∠D=∠1(内错角相等),∠1=∠3(同位角相等).
∠C=∠4(同位角相等),
又∠ABC(即∠B)=∠GBH(对顶角相等).
由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°,所以
∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
说明:
(1)同例3,周角的顶点可以取在平面内的任意位置,证明的本质不变.
(2)总结例3、例4,并将结论的叙述形式变化,可将结论加以推广:
三角形内角和=180°=(3-2)×180°,
四边形内角和=360°=2×180°=(4-2)×180°.
人们不禁会猜想:
五边形内角和=(5-2)×180°=540°,
n边形内角和=(n-2)×180°.
这个猜想是正确的,它们的证明在学过三角形内角和之后,证明将非常简单.
(3)在解题过程中,将一些表面并不相同的问题,从形式上加以适当变形,找到它们本质上的共同之处,将问题加以推广或一般化,这是发展人的思维能力的一种重要方法.

如图所示,四边形ABCD中,过顶点B引BE∥AD,BF∥CD,并延长AB,CB到H,G.则有∠A=∠2(同位角相等),∠D=∠1(内错角相等),∠1=∠3(同位角相等).
∠C=∠4(同位角相等),
又∠ABC(即∠B)=∠GBH(对顶角相等).
由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°,所以
∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
说明:
(1)同例3,周角的顶点可以取在平面内的任意位置,证明的本质不变.
(2)总结例3、例4,并将结论的叙述形式变化,可将结论加以推广:
三角形内角和=180°=(3-2)×180°,
四边形内角和=360°=2×180°=(4-2)×180°.
人们不禁会猜想:
五边形内角和=(5-2)×180°=540°,
n边形内角和=(n-2)×180°.
这个猜想是正确的,它们的证明在学过三角形内角和之后,证明将非常简单.
(3)在解题过程中,将一些表面并不相同的问题,从形式上加以适当变形,找到它们本质上的共同之处,将问题加以推广或一般化,这是发展人的思维能力的一种重要方法.
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