直线与四边形的关系我们给出如下定义：如图1，当一条直线与一个四边形没有公共点时，我们称这条直线和这个四边形相离．如图2，当一条直线与一个四边形有唯一公共点时，我们称这条

Question

直线与四边形的关系我们给出如下定义：如图1，当一条直线与一个四边形没有公共点时，我们称这条直线和这个四边形相离．如图2，当一条直线与一个四边形有唯一公共点时，我们称这条直线和这个四边形相切．如图3，当一条直线与一个四边形有两个公共点时，我们称这条直线和这个四边形相交．
（1）如图4，矩形AOBC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点B在y轴上，OA=3，OB=2，直线y=x+2与矩形AOBC的关系为___．
（2）在（1）的条件下，直线y=x+2经过平移得到直线y=x+b，
当直线y=x+b，与矩形AOBC相离时，b的取值范围是___  ；
当直线y=x+b，与矩形AOBC相交时，b的取值范围是___ ．
（3）已知P（m，m+2），Q（3，m+2），M（3，1），N（m，1），当直线y=x+2与四边形PQMN相切且线段QN最小时，利用图5求直线QN的函数表达式．

Answer 1

（1）∵OB=2，
∴点B（0，2），
令y=x+2中x=0，则y=2，
∴直线y=x+2过点B，
又∵BC平行x轴，
∴直线y=x+2与矩形AOBC只有一个交点，
∴直线y=x+2与矩形AOBC相切．
故答案为：相切．
（2）依照题意画出图形，如图6所示．
①当y=x+b过点B时，b=2；
当y=x+b过点A时，有0=3+b，解得：b=-3．
∴当直线y=x+b与矩形AOBC相离时，b<-3或b>2．
故答案为：b<-3或b>2．
②由①可知：当直线y=x+b与矩形AOBC相交时，-3故答案为：-3（3）∵P（m，m+2），Q（3，m+2），M（3，1），N（m，1），
∴PQ∥MN，PN∥QM，PN⊥x轴，
∴四边形PQMN是矩形，
∴PM=QN．
令y=x+2中x=3，则y=5，
∵5>1，
∴点M在直线y=x+2的下方，
∵直线y=x+2与矩形PQMN相切，
∴y=x+2必过P点．
∵线段QN最短，QN=PM，
∴只需线段PM最短即可．
根据点到直线的距离，垂线段最短，得MP垂直直线时最短，如图7所示．
∵y=x+2，
∴E（-2，0），H（0，2），
∴OE=OH，
∴∠OEH=45°．
∵FN∥x轴，
∴∠MFP=45°，
当∠NMP=45°时，∠MPF=90°，MP⊥EH，此时MP最短，
∵∠NMP=45°，∠PNM=90°，
∴∠NPM=45°，
∴PN=MN，
∴矩形PQMN是正方形时线段QN最短．
∵PN=m+1，MN=3-m，
∴m+1=3-m，
∴m=1，
∴Q（3，3），N（1，1）．
设直线QN的函数表达式为y=kx+c，
则有

3=3k+c

1=k+c

，解得：

k=1

c=0

，
∴直线QN的函数表达式为y=x．