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直线与四边形的关系我们给出如下定义:如图1,当一条直线与一个四边形没有公共点时,我们称这条直线和这个四边形相离.如图2,当一条直线与一个四边形有唯一公共点时,我们称这条
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直线与四边形的关系我们给出如下定义:如图1,当一条直线与一个四边形没有公共点时,我们称这条直线和这个四边形相离.如图2,当一条直线与一个四边形有唯一公共点时,我们称这条直线和这个四边形相切.如图3,当一条直线与一个四边形有两个公共点时,我们称这条直线和这个四边形相交.
(1)如图4,矩形AOBC在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴上,点B在y轴上,OA=3,OB=2,直线y=x+2与矩形AOBC的关系为___.
(2)在(1)的条件下,直线y=x+2经过平移得到直线y=x+b,
当直线y=x+b,与矩形AOBC相离时,b的取值范围是___ ;
当直线y=x+b,与矩形AOBC相交时,b的取值范围是___ .
(3)已知P(m,m+2),Q(3,m+2),M(3,1),N(m,1),当直线y=x+2与四边形PQMN相切且线段QN最小时,利用图5求直线QN的函数表达式.

(1)如图4,矩形AOBC在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴上,点B在y轴上,OA=3,OB=2,直线y=x+2与矩形AOBC的关系为___.
(2)在(1)的条件下,直线y=x+2经过平移得到直线y=x+b,
当直线y=x+b,与矩形AOBC相离时,b的取值范围是___ ;
当直线y=x+b,与矩形AOBC相交时,b的取值范围是___ .
(3)已知P(m,m+2),Q(3,m+2),M(3,1),N(m,1),当直线y=x+2与四边形PQMN相切且线段QN最小时,利用图5求直线QN的函数表达式.

▼优质解答
答案和解析
(1)∵OB=2,
∴点B(0,2),
令y=x+2中x=0,则y=2,
∴直线y=x+2过点B,
又∵BC平行x轴,
∴直线y=x+2与矩形AOBC只有一个交点,
∴直线y=x+2与矩形AOBC相切.
故答案为:相切.
(2)依照题意画出图形,如图6所示.
①当y=x+b过点B时,b=2;
当y=x+b过点A时,有0=3+b,解得:b=-3.
∴当直线y=x+b与矩形AOBC相离时,b<-3或b>2.
故答案为:b<-3或b>2.
②由①可知:当直线y=x+b与矩形AOBC相交时,-3故答案为:-3(3)∵P(m,m+2),Q(3,m+2),M(3,1),N(m,1),
∴PQ∥MN,PN∥QM,PN⊥x轴,
∴四边形PQMN是矩形,
∴PM=QN.
令y=x+2中x=3,则y=5,
∵5>1,
∴点M在直线y=x+2的下方,
∵直线y=x+2与矩形PQMN相切,
∴y=x+2必过P点.
∵线段QN最短,QN=PM,
∴只需线段PM最短即可.
根据点到直线的距离,垂线段最短,得MP垂直直线时最短,如图7所示.
∵y=x+2,
∴E(-2,0),H(0,2),
∴OE=OH,
∴∠OEH=45°.
∵FN∥x轴,
∴∠MFP=45°,
当∠NMP=45°时,∠MPF=90°,MP⊥EH,此时MP最短,
∵∠NMP=45°,∠PNM=90°,
∴∠NPM=45°,
∴PN=MN,
∴矩形PQMN是正方形时线段QN最短.
∵PN=m+1,MN=3-m,
∴m+1=3-m,
∴m=1,
∴Q(3,3),N(1,1).
设直线QN的函数表达式为y=kx+c,
则有
,解得:
,
∴直线QN的函数表达式为y=x.
∴点B(0,2),
令y=x+2中x=0,则y=2,
∴直线y=x+2过点B,
又∵BC平行x轴,
∴直线y=x+2与矩形AOBC只有一个交点,
∴直线y=x+2与矩形AOBC相切.
故答案为:相切.
(2)依照题意画出图形,如图6所示.

①当y=x+b过点B时,b=2;
当y=x+b过点A时,有0=3+b,解得:b=-3.
∴当直线y=x+b与矩形AOBC相离时,b<-3或b>2.
故答案为:b<-3或b>2.
②由①可知:当直线y=x+b与矩形AOBC相交时,-3故答案为:-3(3)∵P(m,m+2),Q(3,m+2),M(3,1),N(m,1),
∴PQ∥MN,PN∥QM,PN⊥x轴,
∴四边形PQMN是矩形,
∴PM=QN.
令y=x+2中x=3,则y=5,
∵5>1,
∴点M在直线y=x+2的下方,
∵直线y=x+2与矩形PQMN相切,

∴y=x+2必过P点.
∵线段QN最短,QN=PM,
∴只需线段PM最短即可.
根据点到直线的距离,垂线段最短,得MP垂直直线时最短,如图7所示.
∵y=x+2,
∴E(-2,0),H(0,2),
∴OE=OH,
∴∠OEH=45°.
∵FN∥x轴,
∴∠MFP=45°,
当∠NMP=45°时,∠MPF=90°,MP⊥EH,此时MP最短,
∵∠NMP=45°,∠PNM=90°,
∴∠NPM=45°,
∴PN=MN,
∴矩形PQMN是正方形时线段QN最短.
∵PN=m+1,MN=3-m,
∴m+1=3-m,
∴m=1,
∴Q(3,3),N(1,1).
设直线QN的函数表达式为y=kx+c,
则有
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∴直线QN的函数表达式为y=x.
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