如图,已知直线y=-2x+4与x轴y轴分别交于A,C两点,抛物线y=-2x²+bx+c(a≠0)经过（1）求抛物线解析式（2）设抛物线的顶点为P,在抛物线上存在点Q,使三角形ABQ的面积等于三角形APC面积的4倍,求出点Q

Question

如图,已知直线y=-2x+4与x轴y轴分别交于A,C两点,抛物线y=-2x²+bx+c(a≠0)经过
（1）求抛物线解析式
（2）设抛物线的顶点为P,在抛物线上存在点Q,使三角形ABQ的面积等于三角形APC面积的4倍,求出点Q的坐标
（3）点M是直线Y=-2X+4上的动点,动点M作ME垂直X轴于点E,在Y轴（原点除外）上是否存在点F,使三角形MEF为等腰直角三角形?若存在,求出点F的坐标及对应的点M的坐标;若不存在,请说明理由?

Answer 1

（1）因为A(2,0) ,C(0,4)代入抛物线得b=2,c=4
∴抛物线解析式为y=-2x^2+2x+4
（2）p点为（0.5,4.5） 因为p到直线AC距离为（3√5）/10,AC长为2√5
∴三角形APC面积为3/2.又AB=3,由题意S△ABQ=4S△APC,∴1/2AB*h=4*3/2
∴h=4,即Q点纵坐标的绝对值为4,设Q为（m,4）或（m,-4）带入抛物线的解析式结得：
Q1（0,4）Q2（1,4）Q3（（1+√7）/2）Q4（（1- √7）/2）
（3）存在点F使△MEF为等腰直角三角形.设M(x,y)∵F不在原点,∴点E不为直角顶点.
当M为直角顶点时,若xy同号(同正,即M在一象限)即x=y ∴M(4/3,4/3) F(0,4/3)
若 xy异号(M在二或四象限),则x=-y∴M(4,-4) F(0,-4)
当F为直角顶点时,若 xy同号(M在一象限) 有M(1,2) F(0,1)
若xy 异号(M在二象限或四象限) 无解
∴存在△MEF为等腰直角三角形