如图1，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A（23，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．（1）求k的值；（2）求tan∠DAC的值

Question

如图1，反比例函数y=(k)/(x)（x＞0）的图象经过点A（2√(3)，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求k的值；
（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；
（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．

Answer 1

（1）把A（2√(3)，1）代入y=(k)/(x)
得k=2√(3)×1=2√(3)；

（2）作BH⊥AD于H，如图1，
把B（1，a）代入反比例函数解析式y=(2√(3))/(x)
得a=2√(3)，
∴B点坐标为（1，2√(3)），
∴AH=2√(3)-1，BH=2√(3)-1，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴∠BAH=45°，
∵∠BAC=75°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAH=30°，
∴tan∠DAC=tan30°=(√(3))/(3)；
∵AD⊥y轴，
∴OD=1，AD=2√(3)，
∵tan∠DAC=(CD)/(DA)=(√(3))/(3)，
∴CD=2，
∴OC=1，
∴C点坐标为（0，-1），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（2√(3)，1）、C（0，-1）代入
得

2√(3)k+b＝1

b＝−1

，
解

k＝(√(3))/(3)

b＝−1

，
∴直线AC的解析式为y=(√(3))/(3)x-1；

（3）设M点坐标为（t，(2√(3))/(t)）（0＜t＜1），
∵直线l⊥x轴，与AC相交于点N，
∴N点的横坐标为t，
∴N点坐标为（t，(√(3))/(3)t-1），
∴MN=(2√(3))/(t)-（(√(3))/(3)t-1）=(2√(3))/(t)-(√(3))/(3)t+1，
∴S_△OMN=(1)/(2)•t•（(2√(3))/(t)-(√(3))/(3)t+1）
=-(√(3))/(6)t²+(1)/(2)t+√(3)
=-(√(3))/(6)（t-(√(3))/(2)）²+(9√(3))/(8)（0＜t＜1），
∵a=-(√(3))/(6)＜0，
∴当t=(√(3))/(2)时，S有最大值，最大值为(9√(3))/(8)．