（2012•玉林）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y=kx的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．（1）填空：双曲线的另

Question

（2012•玉林）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y=(k)/(x)的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．
（1）填空：双曲线的另一支在第______象限，k的取值范围是______；
（2）若点C的坐标为（2，2），当点E在什么位置时，阴影部分的面积S最小？
（3）若(OD)/(OC)=(1)/(2)，S_△OAC=2，求双曲线的解析式．

Answer 1

（1）三，k＞0；
（2）∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，
而点C的坐标为（2，2），
∴A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），
把y=2代入y=(k)/(x)得x=(k)/(2)；把x=2代入y=(k)/(x)得y=(k)/(2)，
∴A点的坐标为（(k)/(2)，2），E点的坐标为（2，(k)/(2)），
∴S_阴影部分=S_△ACE+S_△OBE
=(1)/(2)×（2-(k)/(2)）×（2-(k)/(2)）+(1)/(2)×2×(k)/(2)
=(1)/(8)k²-(1)/(2)k+2
=(1)/(8)（k-2）²+(3)/(2)，
当k-2=0，即k=2时，S_阴影部分最小，最小值为(3)/(2)；
∴E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点，
∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小；
（3）设D点坐标为（a，(k)/(a)），
∵(OD)/(OC)=(1)/(2)，
∴2OD=OC，即D点为OC的中点，
∴C点坐标为（2a，(2k)/(a)），
∴A点的纵坐标为(2k)/(a)，
把y=(2k)/(a)代入y=(k)/(x)得x=(a)/(2)，
∴A点坐标为（(a)/(2)，(2k)/(a)），
∵S_△OAC=2，
∴(1)/(2)×（2a-

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