（2013•黄浦区二模）如图，在梯形ABCD中，AD=BC=10，tanD=43，E是腰AD上一点，且AE：ED=1：3．（1）当AB：CD=1：3时，求梯形ABCD的面积；（2）当∠ABE=∠BCE时，求线段BE的长；（3）当△BCE是直角三

Question

（2013•黄浦区二模）如图，在梯形ABCD中，AD=BC=10，tanD=(4)/(3)，E是腰AD上一点，且AE：ED=1：3．
（1）当AB：CD=1：3时，求梯形ABCD的面积；
（2）当∠ABE=∠BCE时，求线段BE的长；
（3）当△BCE是直角三角形时，求边AB的长．

Answer 1

（1）作梯形的高AH，BG，如图1
∵AD=10，tanD=(4)/(3)，
∴(AH)/(DH)=(4)/(3)，
设AH=4t，DH=3t，则AD=√(AH2+DH2)=5t，
∴5t=10，解得t=2，
∴DH=6，AH=8，
同理得到BG=8，CG=6，
由AB：CD=1：3，设AB=x，CD=3x，
∴6+x+6=3x，解得x=6，
∴梯形ABCD的面积=(1)/(2)（AB+CD）•AH=(1)/(2)•（x+3x）×8=(1)/(2)×24×8=96；

（2）作EK∥CD交BC于K，如图1，
∵AE：ED=1：3，AD=10，
∴AE=(5)/(2)，ED=(15)/(2)，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEK，
∵∠ABE=∠BCE，
∴∠BEK=∠BCE，
∴△BEK∽△BCE，
∴BE：BC=BK：BE，即BE²=BK：BC，
∵梯形ABCD为等腰梯形，
∴BK=AE=(5)/(2)，
∴BE²=BK：BC=(5)/(2)×10，
∴BE=5；

（3）△BCE是直角三角形，
①当∠EBC=90°时，延长BE交CD的延长线于F点，如图2，
∵AB∥DF，
∴AB：DF=AE：ED=1：3，
∴DF=3AB，
设AB=x，则DF=3x，HG=x，
∵Rt△FBG∽Rt△BGC，
∴BG²=GF•GC，即8²=（3x+6+x）×6，解得x=(7)/(6)，
即边AB的长为(7)/(6)；
②当∠CEB=90°时，延长BE交CD的延长线于F点，作EN⊥CD于N，如图3，
设AB=x，则DF=3x，DC=12+x，
在Rt△EDN中，ED=(15)/(2)，tan∠EDN=(4)/(3)=(EN)/(DN)，
设EN=4a，则DN=3a，
∴ED=√(EN2+DN2)=5a，
∴5a=(15)/(2)，解得a=