已知(X,Y)的联合概率函数如下表,试证E(XY)=0X\Y|-101——|——————-1|a0.10.31|0.10.1b（1）试证E(XY)=0;(2)试问,当a,b取和值时候,X与Y不相关；（3）当X与Y不相关时候,X与Y相互独立啊.

Question

已知(X,Y)的联合概率函数如下表,试证E(XY)=0
X\Y | -1 0 1
——|——————
-1 | a 0.1 0.3
1 | 0.1 0.1 b
（1）试证E(XY)=0;(2)试问,当a,b取和值时候,X与Y不相关；（3）当X与Y不相关时候,X与Y相互独立啊.

Answer 1

首先要读懂这个表,以下写的P(u,v)都是指P((X,Y)=(u,v))
表也就是说
P(-1,-1)=a,P(-1,0)=0.1,P(-1,1)=0.3
P(1,-1)=0.1,P(1,0)=0.1,P(1,1)=b
可以知道a+b=0.4
所以P(XY=1)=a+b=0.4 P(XY=0)=0.1+0.1=0.2 P(XY=-1)=0.3+0.1=0.4,所以E(XY)=0
(2)不想关意味着E(XY)=E(X)E(Y),就是E(X)、E(Y)至少一个为0
而E(X)=(0.2+b)-(0.4+a) E(Y)=(0.3+b)-(0.1+a)
所以a=0.3,b=0.1或者a=0.1,b=0.3时X,Y不相关.
(3)若X,Y互相独立,P(X=1)*P(Y=-1)=P(1,-1)=0.1
即(0.1+a)*(0.2+b)=0.1 所以a=0.1,b=0.3的时候满足,另外的解不满足.
再对a=0.1,b=0.3验证P(X)*P(Y)=P(X,Y)对所有X,Y成立,知道a=0.1,b=0.3时,X与Y确实相互独立