已知直线y=a与曲线y=2（x-1）和y=x+ex的交点分别为A，B，则线段|AB|的最小值为．

Question

已知直线y=a与曲线y=2（x-1）和y=x+e^x的交点分别为A，B，则线段|AB|的最小值为___．

Answer 1

设A（x₁，a），B（x₂，a），
则2（x₁-1）=x₂+ex²，
∴x₁=(1)/(2)（x₂+ex²）+1，
∴|AB|=|x₂-x₁|=|(1)/(2)（x₂-ex²）-1|，
令y=(1)/(2)（x-e^x）-1，
则y′=(1)/(2)（1-e^x），
∴函数在（0，+∞）上单调递减，在（-∞，0）上单调递增，
∴x=0时，函数y的最大值为-(3)/(2)，
所以|AB|的最小值为(3)/(2)；
故答案为：(3)/(2)．