（2011•花都区二模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，在AB边上取动点P，连接DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x，BE=y．（1）当BC=4时，试写出y关于x的函数关系式；（2）

Question

（2011•花都区二模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，在AB边上取动点P，连接DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x，BE=y．
（1）当BC=4时，试写出y关于x的函数关系式；
（2）在满足（1）的条件下，若△APD是等腰三角形时，求BE的长；
（3）在满足（1）的条件下，点E能否与C点重合？若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由；
（4）当BC在什么范围内，存在点P，使得PQ经过C（直接写出结果）．

Answer 1

（1）过D点作DH⊥AB于H，
则四边形DHBC为矩形，
∴HB=CD=6，∴AH=AB-CD=2．
∵AP=x，∴PH=x-2，
∵∠DPH+∠PDH=90°，∠DPH+∠BPE=90°，
∴∠PDH=∠BPE．
∵∠DHP=∠B=90°，
∴△DPH∽△PEB．
∴(DH)/(PH)＝(PB)/(EB)，∴(4)/(x−2)＝(8−x)/(y)，
整理得：y=(1)/(4)（x-2）（8-x）=-(1)/(4)x²+(5)/(2)x-4，
∵在AB边上取动点P，连接DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，AH=2，
∴2＜x＜8，
即y=-(1)/(4)x²+(5)/(2)x-4（2＜x＜8）；

（2）直角三角形AHD中，AH=AB-CD=2，DH=BC=4，根据勾股定理可得：AD=2√(5)，
要使△APD是等腰三角形，则
情况①：当AP=AD=2√(5)，即x=2√(5)时：
BE=y=-(1)/(4)×（2√(5)）²+(5)/(2)×2√(5)-4=5