如图，CD为直角△ABC斜边AB上的高，DE⊥AC．设△ADE，△CDB，△ABC的周长分别是p1，p2，p．当p1+p2p取最大值时，∠A=．

Question

如图，CD为直角△ABC斜边AB上的高，DE⊥AC．设△ADE，△CDB，△ABC的周长分别是p₁，p₂，p．当(p1+p2)/(p)取最大值时，∠A=______．

Answer 1

∵CD⊥AB，DE⊥AC
Rt△ADE∽Rt△ABC，Rt△CBD∽Rt△ABC．
令BC=a，AB=c，则DB=(a2)/(c)，AD=c-(a2)/(c)．
于是(p1+p2)/(p)=(AD)/(AB)+(BC)/(AB)=-((a)/(c))2+(a)/(c)+1．
由二次函数性质知，当(a)/(c)=-(1)/(2×(−1))=(1)/(2)，
即(BC)/(AB)=(1)/(2)时，(p1+p2)/(p)取最大值时，
此时∠A=30°．
故答案为 30°．