在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D，E均与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CE=．

Question

在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D，E均与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CE=___．

Answer 1

∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
当△ABC∽△CDE，如图1，则∠CED=∠ACB=90°，∠DCE=∠A，
∴△ADC为等腰三角形，
∴CE=AE，
∴CE=(1)/(2)AC=2；
当△ABC∽△DCE，如图2，则∠CED=∠ACB=90°，∠DCE=∠B，
而∠BCD+∠DCE=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴CD⊥AB，
∴CD=(BC•AC)/(AB)=(12)/(5)，
∵△ABC∽△DCE，
∴AB：CD=BC：CE，即5：(12)/(5)=3：CE，
∴CE=(36)/(25)；
当△ABC∽△CED，如图3，∠CDE=∠ACB=90°，∠DCE=∠A，
∴DC=DA，
∵∠A+∠B=90°，∠DCE+∠BCD=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴DB=DC，
∴CD=DA=DB=(1)/(2)AB=(5)/(2)，
∵△ABC∽△CED，
∴CE：AB=CD：AC，即CE：5=(5)/(2)：4，
∴CE=(25)/(8)，
综上所述，CE的长为2，(25)/(8)，(36)/(25)．
故答案为2，(25)/(8)，(36)/(25)．