（2014•重庆）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=203，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）求AE和BE的长；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平

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（2014•重庆）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=

，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．

（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．

▼优质解答

答案和解析

（1）在Rt△ABD中，AB=5，AD=

，
由勾股定理得：BD=

AB2+AD2

52+(

．
∵S_△ABD=

BD•AE=

AB•AD，
∴AE=

AB•AD

5×

=4．
在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，由勾股定理得：BE=3．

（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：
由对称点性质可知，∠1=∠2．
由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′=3．

①当点F′落在AB上时，∵AB∥A′B′，
∴∠3=∠4，∴∠3=∠2，
∴BB′=B′F′=3，即m=3；
②当点F′落在AD上时，∵AB∥A′B′，
∴∠6=∠2，∵∠1=∠2，∠5=∠1，
∴∠5=∠6，又易知A′B′⊥AD，
∴△B′F′D为等腰三角形，
∴B′D=B′F′=3，
∴BB′=BD-B′D=

-3=

，即m=

．

（3）存在．理由如下：
在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：
①如答图3-1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，易知∠2=2∠Q，

∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，
∴∠3=∠Q，
∴A′Q=A′B=5，
∴F′Q=F′A′+A′Q=4+5=9．
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=

F′Q2+F′B2