如图，已知A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC中点．（1）证明AB1∥平面DBC1；（2）假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角α的度数．

Question

如图，已知A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，D是AC中点．（1）证明AB₁∥平面DBC₁；（2）假设AB₁⊥BC₁，求以BC₁为棱，DBC₁与CBC₁为面的二面角α的度数．

Answer 1

（1）证明：
∵A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，∴四边形B₁BCC₁是矩形．
连接B₁C交BC₁于E，则B₁E=EC．连接DE．
在△AB₁C中，∵AD=DC，∴DE∥AB₁．
又AB₁⊈平面DBC₁，DE⊂平面DBC₁，∴AB₁∥平面DBC₁．
（2）作DF⊥BC，垂足为F，
则DF⊥面B₁BCC₁，连接EF，
则EF是ED在平面B₁BCC₁上的射影．
∵AB₁⊥BC₁，
由（1）知AB₁∥DE，∴DE⊥BC₁，则BC₁⊥EF，∴∠DEF是二面角α的平面角．
设AC=1，则DC=(1)/(2)．∵△ABC是正三角形，∴在Rt△DCF中，
DF=DC•sinC=(√(3))/(4)，CF=DC•cosC=(1)/(4)．取BC中点G．∵EB=EC，∴EG⊥BC．
在Rt△BEF中，
EF²=BF•GF，又BF=BC-FC=(3)/(4)，GF=(1)/(4)，
∴EF²=(3)/(4)•(1)/(4)，即EF=(√(3))/(4)．∴tan∠DEF=(DF)/(EF)＝((√(3))/(4))/((√(3))/(4))＝1．∴∠DEF=45°．
故二面角α为45°．