已知实数a.b.c满足：a+b+c=2abc=4（1）求a.b.c的最大者的最小值（2）求|a|+|b|+|c|的最小值

Question

已知实数a.b.c满足：a+b+c=2 abc=4
（1）求a.b.c的最大者的最小值（2）求|a|+|b|+|c|的最小值

Answer 1

(1)设a最大,由题意必有a＞0,b+c=2-a,bc=4/a,
于是b,c是方程x^2-(2-a)x+4/a=0的两实根
则△=(a-2)^2-4*4/a≥0
去分母得a^3-4a^2+4a-16≥0,
(a-4)(a^2+4)≥0
所以a≥4
又当a=4,b=c=-1
即a,b,c中最大者的最小值为4（2）因为abc=4＞0,a+b+c=2＞0
所以a,b,c可能全为正,或一正二负
当a,b,c全为正时,由（1）知a,b,c中最大者的最小值为4,这与a+b+a=2矛盾
当a,b,c一正二负时,设a＞0,b＜0,c＜0
则|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-（b+c）=a-（2-a）=2a-2
由（1）知a≥4
所以2a-2≥6
所以|a|+|b|+|c|的最小值就是6