求出能表示为n=(a+b+c)2abc（a，b，c为正整数）的所有正整数n．

Question

求出能表示为n=((a+b+c)2)/(abc)（a，b，c为正整数）的所有正整数n．

Answer 1

不妨设a≤b≤c，则有abc=2（a+b+c）≤2（c+c+c）=6c，
∴有ab≤6，
∵（a-b）²=a²-2ab+b²，
∴a²+b²≥2ab且abc=2（a+b+c），
∴4（a+b+c）=2abc≤（a²+b²）c，4a+4b+4c-a²c-b²c≤0，
a（4-ac）+b（4-bc）+4c≤0，
∵a，b，c为正整数，
∴要使4a+4b+4c-a²c-b²c≤0成立，只能是4-ac≤0或4-bc≤0，
∴ac≥4或bc≥4，
同理可得：ab≥4或bc≥4，且ab≥4，
因此有4≤ab≤6且a≤b≤c，共有以下几种可能：
当a=1，b=4时，代入原式可解得：c=5；
当a=1，b=5时，代入原式可解得：c=4，不符合a≤b≤c，舍去；
当a=1，b=6时，代入原式可解得：c不是整数，舍去；
当a=2，b=2时，代入原式可解得：c=4；
当a=2，b=3时，代入原式可解得：c不是整数，舍去；
所以符合条件的正整数解共有两组，一组为：1，4，5；一组为：2，2，4．