(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)+(x+a)是完全平方式证明a=b=c

Question

(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)+(x+a)是完全平方式
证明a=b=c

Answer 1

(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)=3x^2+2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)
依题意△=4(a+b+c)^2-4*3(ab+bc+ac)=0
即a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0
化为2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0
配方(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0
故a-b=0,b-c=0,a-c=0
得a=b=c