求教一道三角题,望有更简洁法在三角形ABC中,角A,角B,角C所对的边为a,b,c,若cosA/25=cosB/33=cosC/39=k,求a:b:c.如题,我现在想的办法是cosC=39k,cosB=33k,cosA=25k.cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB,再用sin^2A+cos^A=1,代入

Question

求教一道三角题,望有更简洁法
在三角形ABC中,角A,角B,角C所对的边为a,b,c,若cosA/25=cosB/33=cosC/39=k,求a:b:c.如题,我现在想的办法是cosC=39k,cosB=33k,cosA=25k.cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB,再用sin^2A+cos^A=1,代入,但这样最后有个三次项,最多用因式分解做.还试过用余弦定理化为三元一次方程,用行列式做,最后也是高次方程,望各位网友有更简洁的做法.答案是15:14:13.（方程我也没解出来,最后是64350k^3-682339k^2-1=0）

Answer 1

cosA/25=cosB/33=cosC/39=k,
——》cosC=39k、cosB=33k、cosA=25k,
——》sinB=v[1-(33k)^2]、sinA=v[1-(25k)^2],
cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB,
——》39k=v[1-(33k)^2]*v[1-(25k)^2]-25k*33k,
——》(25*33k^2+39k)^2=[1-(33k)^2]*[1-(25k)^2],
——》64350k^3+3235k^2-1=0
——》(65k-1)(990k^2+65k+1)=0
——》k=1/65,另外两根小于0(舍去),
——》sinA=v[1-(25k)^2]=12/13,
sinB=v[1-(33k)^2]=56/65,
sinC=v[1-(39k)^2]=52/65,
——》a：b：c=sinA：sinB：sinC=15：14：13.