一串数1,4,7,10,...,697,700将所有这些数相乘,试求所得的尾部的0的个数

Question

一串数 1,4,7,10,...,697,700将所有这些数相乘,试求所得的尾部的0的个数

Answer 1

这串数被3除都余1；
因为,乘积的尾部的每一个0,都是由一个2和一个5相乘得来的,
所以,乘积的尾部有多少个0,关键看有多少个质因数2和5；
显然,被2整除的数比被5整除的数多,即：质因数2的个数比质因数5的个数多,
可得：有多少个质因数5,乘积的尾部就有多少个0；
被5整除的数至少含有1个质因数5,在这串数中被5整除的相邻的两个数相差 5×3 = 15 ,
这样的数有：10,25,...,700,共 (700-10)÷15+1 = 47 个；
被25整除的数至少含有2个质因数5,在这串数中被25整除的相邻的两个数相差 25×3 = 75 ,
这样的数有：25,100,...,700,共 (700-25)÷75+1 = 10 个；
被125整除的数至少含有3个质因数5,这串数中被125整除的相邻的两个数相差 125×3 = 375 ,
这样的数有：250,625,共 2 个；
被625整除的数至少含有4个质因数5,这串数中被625整除的相邻的两个数相差 625×3 = 1875 ,
这样的数有：625,共 1 个；
因为,质因数5的个数为 47+10+2+1 = 60 ,
所以,乘积的尾部的0的个数为 60 .