如果有理数m可以表示成2x2-6xy+5y2（其中x、y是任意有理数）的形式，我们就称m为“世博数”．（1）两个“世博数”a、b之积也是“世博数”吗？为什么？（2）证明：两个“世博数”a、b（b≠

Question

如果有理数m可以表示成2x²-6xy+5y²（其中x、y是任意有理数）的形式，我们就称m为“世博数”．
（1）两个“世博数”a、b之积也是“世博数”吗？为什么？
（2）证明：两个“世博数”a、b（b≠0）之商也是“世博数”．

Answer 1

∵m=2x²-6xy+5y²=（x-2y）²+（x-y）²，其中x、y是有理数，
∴“世博数”m=p²+q²（其中p、q是任意有理数），只须p=x-2y，q=x-y即可．（3分）
∴对于任意的两个两个“世博数”a、b，不妨设a=j²+k²，b=r²+s²，其中j、k、r、s为任意给定的有理数，（3分）则
（1）ab=（j²+k²）（r²+s²）=（jr+ks）²+（js-kr）²是“世博数”；（3分）
（2）(a)/(b)＝(j2+k2)/(r2+s2)＝((j2+k2)(r2+s2))/((r2+s2)2)(3分)＝((jr+ks)2+(js−kr)2)/((r2+s2)2)=((jr+ks)/(r2+s2))2+((js−kr)/(r2+s2))2也是“世博数”．（3分）