有一个自然数，它除以15、17、19所得到的商（＞1）与余数（＞0）之和都相等，这样的数最小可能是．

Question

有一个自然数，它除以15、17、19所得到的商（＞1）与余数（＞0）之和都相等，这样的数最小可能是______．

Answer 1

设商和余数之和为k，商分别为x，y，z，
则15x+k-x=17y+k-y=19z+k-z，
即14x=16y=18z，7x=8y=9z；
设x，y，z的最大公约数为p，则
x=72p，y=63p，z=56p，
另一方面，有 0＜k-x＜15，0＜k-y＜17，0＜k-z＜19；
即 0＜k-72p＜15，0＜k-63p＜17，0＜k-56p＜19；
由k-72p＜k-63p＜17 得 9p＜17，
那么p＜(17)/(9)；
由k-72p＜k-56p＜19得p＜(19)/(16)；
即p只能为1
那么，x=72，y=63，z=56；
15x=1080，17y=1071，19z=1064；
而1064+19=1083，
那么所求的奇自然数小于1083（否则z＞19）
但它大于1080（因为它除以15的余数大于0），
所以它只能是1081．
故答案为：1081．