求出所有这样的正整数a,使得二次方程ax^2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根要详细步骤,

Question

求出所有这样的正整数a,使得二次方程ax^2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根要详细步骤,

Answer 1

所有正整数a的值是：1、3、6、10；
因为a是正整数,所以原方程是关于x的一元二次方程.要使方程有实根,首先它的判别式必须为非负数,即△≥0,
而△=[2(2a-1)]^2-4a*4(a-3)
=4(4a^2-4a+1)-16a^2+48a
=32a+4
显然,判别式是大于0.
原方程整理成：
a(x^2+4x+4)=12+2x,当x=-2时,等式两边不相等,故x≠-2,即x^2+4x+4≠0,于是有
a=(12+2x)/(x^2+4x+4)--------------------------------①
因为x^2+4x+4=(x+2)^2>0,a为正整数,所以12+2x>0,且
12+2x≥x^2+4x+4
解得：-4≤x≤2；其中x≠-2.
x的可能值是：-4,-3,-1,0,1,2；
代入①式,相应得：1,6,10,3,14/9,1；
a取1,3,6,10,其余舍去.