若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2-6x-27=0，x2-2x-8=0，x2+3x-274=0，x2+6x-27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”

Question

若x₁，x₂是关于x的方程x²+bx+c=0的两个实数根，且|x₁|+|x₂|=2|k|（k是整数），则称方程x²+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x²-6x-27=0，x²-2x-8=0，x²+3x-(27)/(4)=0，x²+6x-27=0，x²+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．
（1）判断方程x²+x-12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；
（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x²+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．

Answer 1

（1）不是，
解方程x²+x-12=0得，x₁=3，x₂=-4．
|x₁|+|x₂|=3+4=7=2×3.5．
∵3.5不是整数，
∴x²+x-12=0不是“偶系二次方程；
（2）存在．理由如下：
∵x²-6x-27=0和x²+6x-27=0是偶系二次方程，
∴假设c=mb²+n，
当b=-6，c=-27时，
-27=36m+n．
∵x²=0是偶系二次方程，
∴n=0时，m=-(3)/(4)，
∴c=-(3)/(4)b²．
∵x2+3x−(27)/(4)＝0是偶系二次方程，
当b=3时，c=-(3)/(4)×3²．
∴可设c=-(3)/(4)b²．
对于任意一个整数b，c=-(3)/(4)b²时，
△=b²-4ac，
=4b²．
x=(−b±2b)/(2)，
∴x₁=-(3)/(2)b，x₂=(1)/(2)b．
∴|x₁|+|x₂|=2|b|，
∵b是整数，
∴对于任何一个整数b，c=-(3)/(4)b²时，关于x的方程x²+bx+c=0是“偶系二次方程”．