求助一道二次常微分方程的题,x(y')^2-2yy'+4x=0

Question

求助一道二次常微分方程的题,x(y')^2-2yy'+4x=0

Answer 1

类似于其次方程的解法,令 y = t * x,dy = t dx + x dt => y ' = dy / dx = t + x * dt / dx.
x(y ')^2 - 2yy' + 4x = 0 => (y ')^2 - 2y/x * y' + 4 = 0 => (y ')^2 - 2t * y' + 4 = 0 将 y ' 代入得到：
(t + x * dt/dx)^2 - 2t * (t + x * dt/dx) + 4 = 0 展开化简得到 =>
x * dt/dx = ± √(t^2 - 4) 这是一个分离变量的微分方程 =>
1 / √(t^2 - 4) dt = ± 1 / x dx 两边同时积分 =>
ln( t + √(t^2 - 4) ) = ± ln x + C1 =>
t + √(t^2 - 4) = C * x 或者 C / x 将 t = y / x 代入即可得到方程的
y + √(y^2 - 4x^2) = C * x 或者 C.