已知：关于x的二次函数y=-x2+ax（a＞0），点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数．（1）y1=y2，请说明a必为奇数；（2）设a=11，求使y1≤y2≤y3成立的

Question

已知：关于x的二次函数y=-x²+ax（a＞0），点A（n，y₁）、B（n+1，y₂）、C（n+2，y₃）都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数．
（1）y₁=y₂，请说明a必为奇数；
（2）设a=11，求使y₁≤y₂≤y₃成立的所有n的值；
（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵点A（n，y₁）、B（n+1，y₂）、C（n+2，y₃）都在二次函数y=-x²+ax（a＞0）的图象上，
∴y₁=-n²+an，y₂=-（n+1）²+a（n+1）
∵y₁=y₂，
∴-n²+an=-（n+1）²+a（n+1）
整理得：a=2n+1
∴a必为奇数；
（2）当a=11时，∵y₁≤y₂≤y₃
∴-n²+11n≤-（n+1）²+11（n+1）≤-（n+2）²+11（n+2）
化简得：0≤10-2n≤18-4n，
解得：n≤4，
∵n为正整数，
∴n=1、2、3、4．

（3）假设存在，则BA=BC，如右图所示．
过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AD⊥BN于点D，CE⊥BN于点E．
∵x_A=n，x_B=n+1，x_C=n+2，
∴AD=CE=1．
在Rt△ABD与Rt△CBE中，

AB＝BC

AD＝CE

，
∴Rt△ABD≌Rt△CBE（HL）．
∴∠ABD=∠CBE，即BN为顶角的平分线．
由等腰三角形性质可知，点A、C关于BN对称，
∴BN为抛物线的对称轴，点B为抛物线的顶点，
∴n+1=(a)/(2)，
∴n=(a)/(2)-1．
∴a为大于2的偶数，存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形，n=(a)/(2)-1．