平面上有n(n>=3)个点,任意三点不在同一直线上,过任意三点作三角形,一共能作出多少个不同的三角形?1）分析：当仅有3个点时,可作——个三角形；当有4个点时,可作——个三角形；当有5个点

Question

平面上有n(n>=3)个点,任意三点不在同一直线上,过任意三点作三角形,一共能作出多少个不同的三角形?
1）分析：当仅有3个点时,可作——个三角形；当有4个点时,可作——个三角形；当有5个点时,可作——个三角形…… 2）归纳：考察点的个数n和可做出三角形的个数sn发现：点的个数 3 4 5 … n 可作出的三角形个数 … 3)推理：4）结论：

Answer 1

3个点,可作1个三角形 4个点,可作4个三角形 5个点,可作10个三角形 6个点,可作20个三角形 猜想,n(n≥3)个点,可作n(n-1)(n-2)/6个三角形 用数学归纳法证明：①n=3时,可作1个,1=3(3-1)(3-2)/6,猜想成立 ②n=4时,可作4个,6=4(4-1)(4-2)/6,猜想成立 ③假设对于n=k(k>>3)时,猜想成立,即,可作k(k-1)(k-2)/6个三角形 ∴n=k+1时,比原来增加的三角形应为：增加的点k+1,与原来k个点中任意不相同的2个点所连成的三角形 现猜想原来k个点中任意不相同的2个点的组合数为k(k-1)/2(k≥2) ⑴k=2时,有1种组合,猜想成立 ⑵k=3时,有3=3(3-1)/2种组合,猜想成立 ⑶假设k=i(i>3)时,猜想成立,即有i(i-1)/2种组合,则 k=i+1时,组合数应为i(i-1)/2+i=i(i+1)/2 ∴k=i+1时,猜想仍成立 ∴k个点中任意不相同的2个点的组合数为k(k-1)/2(k≥2) ∴当n=k+1时,能作的三角形的数量为：k(k-1)(k-2)/6+k(k-1)/2 =(k-1)(k^2-2k+3k)/6 =(k-1)k(k+1)/6 ∴当n=k+1时,关于可作三角型个数的猜想仍成立 综上,当n≥3时,能作n(n-1)(n-2)/6个三角形