在三角形ABC中,求证sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

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在三角形ABC中,求证
sin2A+ sin2B+ sin2C=4 sinA sinB sinC

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答案和解析

左式：sin2A+ sin2B+ sin2C=sin2A+ sin2B+sin(2派-2A-2B)
=sin2A+ sin2B-sin(2A+2B)=sin2A+ sin2B-sin2Acos2B-
sin2Bcos2A=sin2A(1-cos2B)+sin2B(1-cos2A)
又因为cos2B=cos^2B-sin^2B,cos2A=cos^2A-sin^2A
所以上式=2sin2A*sin^2B+2sin2B*sin^2A
右式：4 sinA sinB sinC＝4 sinA sinBsin(派-A-B)
=4sinA sinBsin(A+B)=4sinAsinB(sinAcosB+sinBcosA)
=4sin^2AsinBcosB+4sin^2BsinAcosA
=2sin^2Asin2B+2sin^2Bsin2A
左式＝右式,得证

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