1所有三角形都有内心,外心,重心,2任何一个三角形的顶点到底边的垂线都会交于一点吗?3任何锐角三角形内任一点到三边上的距离（垂直距离）之和都相等吗?如果有回答肯定的,请给于证明,

Question

1 所有三角形都有内心,外心,重心,
2 任何一个三角形的顶点到底边的垂线都会交于一点吗?
3 任何锐角三角形内任一点到三边上的距离（垂直距离）之和都相等吗?
如果有回答肯定的,请给于证明,附上相关图形,

Answer 1

1 所有三角形都有内心,外心,重心,垂心.
  当三角形 为等边三角形时,四心合一为中心.
 

上面的图中,中垂线交点为外心
（1）
内角平分线交于一点证明：
证明：设在△ABC中,AD,BE,CF分别是三个内角角的角平分线,并设AD、BE相交于O,过O作OG、OH、OM分别垂直于AB、BC、CA,垂足分别是G、H、M因为AD平分∠BAC所以OM＝OG（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）同理有：OG＝OH,所以OM＝OH所以点O在∠ACB的平分线CF上（到一个觚两边距离相等的点一定在这个角的角平分线上）即CF经过点O,所以AD、BE、CF都经过同一点O所以三角形的三个内角平分线相交于一点
 
 （2）高线交于一点参看
 （3）中线交于一点证明
  （4）外心证明
已知：ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点O,连接CO并延长交AB于点F ,求证：CF⊥AB 证明：连接DE
∵∠ADB=∠AEB=90度,且在AB同旁,∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE （同弧上的圆周角相等） ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ＝Rt ∴△AEO∽△ADC ∴AE/AO=AD/AC
∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB
.这说明了,经过O点的CF就是AB边的高
 
2  任何一个三角形的顶点到底边的垂线都会交于一点,
   这一点为三角形的垂心

3   任何锐角三角形内任一点到三边上的距离（垂直距离）之和都相等吗?
  不是的,只有等边三角形才是.