周长不变的三角形什么时候面积最大?

Question

周长不变的三角形什么时候面积最大?

Answer 1

周长不变的三角形,三角形为等边三角形时,面积取得最大值.
若三角形的三条边长分别为a,b,c,则该三角形的面积为：
S＝根号[p·(p-a)·(p-b)·(p-c)],其中p为半周长,p=1/2(a+b+c)
这个公式叫海伦公式．有了这个公式,原题的证明就不困难了.
设三角形的周长为a+b+c=2p
则S^2=p·[(p-a)·(p-b)·(p-c)≤p·{[(p-a)+(p-b)+(p-c)]/3}^3（用了“三个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数”结论）
∴ S^2≤p^4/27
∴ S≤(根号3/9)·p^2
当且仅当p-a＝p-b＝p-c,即a=b=c,三角形为等边三角形时,面积取得最大值.