设总体X的密度函数为f（x）=1θe−(x−μ)θ，x≥μ0，其他，其中θ＞0，θ，μ为未知参数，X1，X2，…，Xn为取自X的样本，试求θ，μ的最大似然估计量和矩阵估计量．

Question

设总体X的密度函数为f（x）=

(1)/(θ)e(−(x−μ))/(θ)，x≥μ

0，其他

，其中θ＞0，θ，μ为未知参数，X₁，X₂，…，X_n为取自X的样本，试求θ，μ的最大似然估计量和矩阵估计量．

Answer 1

（1）最大似然估计量：
∵似然函数为L（x₁，x₂，…，x_n；θ，μ）=

n

π

i＝1

(1)/(θ)e(−(xi−μ))/(θ)=θ−ne−θ−1

n

i＝1

(xi−μ)
∴lnL＝−nlnθ−θ−1

n

i＝1

(xi−μ)
∴(∂lnL)/(∂θ)＝−(n)/(θ)+(1)/(θ2)

n

i＝1

(xi−μ)…①
  (∂lnL)/(∂μ)＝(n)/(θ)…②
由②可知，μ的最大似然估计不能由似然方程解出．
但当x_i＞μ（i=1，2，…，n）时，lnL是关于μ单调递增的，且
当μ=min（x₁，x₂，…，x_n）时，lnL取到最大值
故μ的最大似然估计是min（x₁，x₂，…，x_n）
由①，令(∂lnL)/(∂θ)＝0，则θ＝(1)/(n)

n

i＝1

(xi−μ)=

.

x

−μ
∴θ的最大似然估计是

.

x

−min(x1，x2，…，xn)
（2）矩阵估计量
由题意，可知EX＝

∫

+∞ −∞

xf(x)dx=

∫

+∞ μ

x(1)/(θ)e(−(x−μ))/(θ)dx

令t＝(x−μ)/(θ)

.

∫

+∞ 0

(μ+θt)(1)/(θ)e−tθdt=

∫

+∞ 0

(μ+θt)e−tdt
=

∫

+∞ 0

μe−tdt+

∫

+∞ 0

θte−tdt=θ+μ
EX2＝

∫

+∞ −∞

x2f(x)dx=

∫

+∞ μ

x2(1)/(θ)e(−(x−μ))/(θ)dx=2θ²+2θμ+μ²
∴由矩估计可知

θ+μ＝

.

x

2θ2+2θμ+μ2＝(1)/(n)

n

i＝1

xi2

解得：θ＝√((1)/(n)ni＝1(xi2−.x2))
μ＝√((1)/(n)ni＝1(xi2−.x2))
即θ，μ的矩估计量均为
√((1)/(n)ni＝1(xi2−.x2))