（2014•东海县模拟）我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．（1）如图1，在△ABC中，A

Question

（2014•东海县模拟）我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．

（1）如图1，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，请你在图1中用尺规作图作出△ABC的一条“等分积周线”；
（2）在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法‘若不能，请说明理由．
（3）如图2，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC于点E，已知AB=3，BC=8，CD=5．求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；
（4）如图3，在△ABC中，AB=BC=6cm，AC=8cm，请你不过△ABC的顶点，画出△ABC的一条“等分积周线”，并说明理由．

Answer 1

（1）如图1所示：作线段AC的中垂线BD即可；

（2）不能，
理由：如图2，若直线CD平分△ABC的面积，那么S_△ADC=S_△DBC，
∴AD=BD，
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC，
∴过点C不能画出一条“等分积周线”

（3）连接AE、DE，设BE=x，
∵EF垂直平分AD，∴AE=DE，AF=DF，S_△AEF=S_△DEF，
∵∠B=∠C=90°，AB=3，BC=8，CD=5，
∴Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理可得出：
AB²+BE²=CE²+DC²，即3²+x²=（8-x）²+5²，
解得：x=5，所以BE=5，CE=3，
∴AB+BE=CE+DC，
S_△ABE=S_△DCE，
∴S_{四边形ABEF}=S_△ABE+S_△AEF，
S_{四边形DCEF}=S_△DEF+S_△DCE，
∴S_{四边形ABEF}=S_{四边形DCEF}，
AF+AB+BE=DF+EC+DC，
∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；

（4）如图4，在AC上取一点F，使得FC=AB=6，在BC上取一点E，使得BE=2，
作直线EF，则EF是△ABC的等分积周线，
理由：由作图可得：AF=AC-FC=8-6=2，在CB上取一点G，使得CG=AF=2，则有AB+AF=CF+CG，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
在△ABF和△CFG中

AF＝CG

∠A＝∠C

AB＝CF

∴△ABF≌△CFG（SAS），
∴S_△ABF=S_△CFG，
又易得BE=EG=2，
∴S_△BFE=S_△EFG，
∴S_△EFC=S_{四边形ABEF}，
AF+AB+BE=CE+CF=10，
∴EF是△ABC的等分积周线，
若如图5，当BM=2cm，AN=6cm时，直线MN也是△ABC的等分积周线．（其实是同一条），
另外本问的说理也可以通过作高，进行相关计算说明）．