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将长方形OABC的顶点O放在直角坐标系中,点A,C分别在x轴,y轴上,点B(a,b),且a,b满足a−3=0,(b+6)2≤0.(1)求点B的坐标;(2)若过O点的直线OD交长方形的边于点D,且直线OD把长方

题目详情
将长方形OABC的顶点O放在直角坐标系中,点A,C分别在x轴,y轴上,点B(a,b),且a,b满足
a−3
=0,(b+6)2≤0.
(1)求点B的坐标;
(2)若过O点的直线OD交长方形的边于点D,且直线OD把长方形的周长分为3:5两部分,求点D的坐标;
(3)若点P从点B出发,以1单位/秒的速度向C点运动(不超过C点),同时点Q从C点出发以2单位/秒的速度向原点运动(不超过原点),试探讨四边形AQCP的面积在运动中是否会发生变化?若不变,求其值;若变化,求变化范围.
(4)若H(0,-1),点P(m,-3)在第三象限内运动,则是否存在点P使四边形HBCP的面积等于△AHB的面积?若存在,求P点坐标;不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵
a−3
=0,(b+6)2≤0,
∴a-3=0,b+6=0,
∴a=3,b=-6,
∴B点坐标为(3,-6);
(2)当点D在AB上,如图1,设D(3,n),则AD=-n,BD=6+n,
∵直线OD把长方形的周长分为3:5两部分,
∴(3-n):(6+n+3+6)=3:5,
解得n=-
15
4

∴D点坐标为(3,-
15
4
);
当点D在BC上,如图2,设D(m,-6),则CD=m,BD=3-m,
∵直线OD把长方形的周长分为3:5两部分,
∴(6+m):(3-m+3+6)=3:5,
解得m=
3
4

∴D点坐标为(
3
4
,-6),
综上所述,D点坐标为(3,-
15
4
)或(
3
4
,-6);
(3)四边形AQCP的面积在运动中不会发生变化.
如图3,设运动的时间为t,则BP=t,CQ=2t(0≤t≤3),
S四边形AQCP=S矩形ABCO-S△AOQ-S△APB
=3×6-
1
2
×3×(6-2t)-
1
2
×6×t
=9;
(4)存在.如图4,∵四边形HBCP的面积等于△AHB的面积,
1
2
×5×|m|+
1
2
×5×3=
1
2
×6×3,
而m<0,
∴m=-
6
5

∴P点坐标为(-
6
5
,-3).
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