（2013•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条

Question

（2013•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C₁与经过点A、D、B的抛物线的一部分C₂组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，-(3)/(2)），点M是抛物线C₂：y=mx²-2mx-3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．

Answer 1

（1）y=mx²-2mx-3m=m（x-3）（x+1），
∵m≠0，
∴当y=0时，x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）设C₁：y=ax²+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：

a-b+c=0

9a+3b+c=0

c=-(3)/(2)

，
解得

a=(1)/(2)

b=-1

c=-(3)/(2)

，
故C₁：y=(1)/(2)x²-x-(3)/(2)．
如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，
由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y=(1)/(2)x-(3)/(2)，
设P（x，(1)/(2)x²-x-(3)/(2)），则Q（x，(1)/(2)x-(3)/(2)），
PQ=(1)/(2)x-(3)/(2)-（(1)/(2)x²-x-(3)/(2)）=-(1)/(2)x²+(3)/(2)x，
S_△PBC=S_△PCQ+S_△PBQ=(1)/(2)PQ•OB=(1)/(2)×（-(1)/(2)x²+(3)/(2)x）×3=-(3)/(4)（x-(3)/(2)）²+(27)/(16)，
当x=(3)/(2)时，S_△PBC有最大值，Smax=(27)/(16)，
(1)/(2)×（(3)/(2)）²-(3)/(2)-(3)/(2)=-(15)/(8)，
P（(3)/(2)，-(15)/(8)）；

（3）y=mx²-2mx-3m=m（x-1）²-4m，
顶点M坐标（1，-4m），
当x=0时，y=-3m，
∴D（0，-3m），B（3，0），
∴DM²=（0-1）²+（-3m+4m）²=m²+1，
MB²=（3-1）²+（0+4m）²=16m²+4，
BD²=（3-0）²+（0+3m）²=9m²+9，
当△BDM为Rt△时有：DM²+BD²=MB²或DM²+MB²=BD²．
①DM²+BD²=MB²时有：m²+1+9m²+9=16m²+4，
解得m=-1（∵m＜0，∴m=1舍去）；
②DM²+MB²=BD²时有：m²+1+16m²+4=9m²+9，
解得m=-(√(2))/(2)（m=(√(2))/(2)舍去）．
综上，m=-1或-(√(2))/(2)时，△BDM为直角三角形．