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在三角形ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,求证1/2(1/a+1/b+1/c)
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在三角形ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,求证1/2(1/a+1/b+1/c)
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答案和解析
cosA=(b²+c²-a²)/2bc
cosB=(a²+c²-b²)/2ac
cosC=(a²+b²-c²)/2ab
中间=（a²+b²+c²）/2abc
左边=（ab+bc+ac）/2abc
右边=（2ab+2bc+2ac）/2abc
a²+b²+c²-（ab+bc+ac）=[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]/2 ≥0
2（ab+bc+ac）=a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）＞a²+b²+c² .两边之和大于第三边
所以 左边≤中间＜右边
cosB=(a²+c²-b²)/2ac
cosC=(a²+b²-c²)/2ab
中间=（a²+b²+c²）/2abc
左边=（ab+bc+ac）/2abc
右边=（2ab+2bc+2ac）/2abc
a²+b²+c²-（ab+bc+ac）=[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]/2 ≥0
2（ab+bc+ac）=a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）＞a²+b²+c² .两边之和大于第三边
所以 左边≤中间＜右边
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