已知a+b+c=0,且a3+b3+c3=0,求a2011+b2011+c2011的值

Question

已知a+b+c=0,且a3+b3+c3=0,求a2011+b2011+c2011的值

Answer 1

a+b+c=0
∴a+b=-c
a^3+b^3+c^3=0
(a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3=0
-c{(a+b)^2-3ab}+c^3=0
-c{c^2-3ab)+c^3=0
-c^3+3abc+c^3=0
3abc=0
abc=0
ab(-a-b)=0
ab(a+b)=0
∴a=0,或b=0,或c=-(a+b)=0
同理：b=-0,或c=0,或a=-(b+c）=0
同理：c=-0,或a=0,或b=-(a+c）=0
又：2011是奇数
∴a^2011+b^2011+c^2011三项中必有一项是零,另外两项互为相反数
∴a^2011+b^2011+c^2011 = 0