如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA=CD，点E在线段CA上，且满足DE=AB，连接DE并延长交AB于点F．（1）求证：DE⊥AB；（2）若已知BC=a，AC=b，AB=c，设EF=x，则△ABD的面积用代数式可表示为；S

Question

如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA=CD，点E在线段CA上，且满足DE=AB，连接DE并延长交AB于点F．
（1）求证：DE⊥AB；
（2）若已知BC=a，AC=b，AB=c，设EF=x，则△ABD的面积用代数式可表示为； S △ABD =(1)/(2) c(c+x) 你能借助本题提供的图形，证明勾股定理吗？试一试吧．

Answer 1

（1）证明：在Rt△ABC和Rt△DCE中，

CA=CD

DE=AB

∴Rt△ABC≌Rt△DCE（HL）
∴∠BAC=∠EDC（全等三角形的对应角相等），
∵∠AEF=∠DEC（对顶角相等），∠EDC+∠DEC=90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠BAC+∠AEF=∠EDC+∠DEC=90°．
∴∠AFE=180°-（∠BAC+∠AEF）=90°．
∴DE⊥AB．

（2）由题意知：
S _△ABD =S _△BCE +S _△ACD +S _△ABE = (1)/(2) a ² + (1)/(2) b ² + (1)/(2) cx，
∵ S △ABD =(1)/(2) c(c+x) ，
∴ (1)/(2) a 2 +(1)/(2) b 2 +(1)/(2) cx=(1)/(2) c(c+x) ．
∴a ² +b ² =c ² ．