在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P.（1）若BD=AC，AE=CD，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE的度数；（2）若，，求∠APE的度数.

Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P.

（1）若BD=AC，AE=CD，在图1中画出符合题意的图形，并直接写 出∠APE的度数；
（2）若 ， ，求∠APE的度数.

Answer 1

（1）如图9，∠APE=" " 45  °. ……………………2分
 （2）解法一：如图10，将AE平移到DF ，连接BF，EF．……………3分

则四边形AEFD是平行四边形．
∴ AD∥EF，AD=EF ．
∵ ， ，
∴ ， ．
∴ ．……………………………………………………4分
∵ ∠C=90°，
∴ ．
∴ ∠C=∠BDF．
∴ △ACD∽△BDF．………………5分
∴ ，∠1=∠2．
∴ ．
∵ ∠1+∠3=90°，
∴ ∠2+∠3=90°．
∴ BF⊥AD ．
∴ BF⊥EF．…………………………………………………………6分
∴ 在Rt△BEF中， ．
∴ ∠APE=∠BEF =30°．…………………………………………7分[来
解法二：如图11，将CA平移到DF，连接AF，BF，EF．………………3分

则四边形ACDF是平行四边形．
∵ ∠C=90°，
∴ 四边形ACDF是矩形，∠AFD=∠CAF= 90°，∠1+∠2=90°．
∵ 在Rt△AEF中， ，
在Rt△BDF中， ，
∴ ．
∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB =90°．
∴ ∠AFD=∠EFB． …………………4分
又∵ ，
∴ △ADF∽△EBF． …………………………………5分
∴ ∠4=∠ 5．………………………………………6分
∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5，
   ∴ ∠APE=∠3=30°．………………………7分

略