在△ABC中，BD平分∠ABC（∠ABC<60°）（1）如图1，当点D在AC边上时，若∠ABC=42°，∠ACB=32°，请直接写出AB，DC和BC之间的数量关系．（2）如图2，当点D在△ABC内部，且∠ACD=30°时，①若∠BDC=150

Question

在△ABC中，BD平分∠ABC（∠ABC<60°）
（1）如图1，当点D在AC边上时，若∠ABC=42°，∠ACB=32°，请直接写出AB，DC和BC之间的数量关系．
（2）如图2，当点D在△ABC内部，且∠ACD=30°时，
①若∠BDC=150°，直接写出AB，AD和BC之间的数量关系，并写出结论成立的思路．
②若∠ABC=2α，∠ACB=60°-α，请直接写出∠ADB的度数（用含α的式子表示）．

Answer 1

（1）BC=AB+DC，理由如下：
在BC上截取BE=BA，连接DE，如图1所示：
∵∠ABC=42°，∠ACB=32°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=106°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2=(1)/(2)∠ABC=21°，
在△BDE和△BDA中，

BE=BA

∠2=∠1

BD=BD

，
∴△BDE≌△BDA（SAS），
∴∠BED=∠A=106°，
∴∠CED=180°-106°=74°，
∵∠BED=∠C+∠CDE，
∴∠CDE=∠BED-∠C=74°=∠CED，
∴CE=CD，
∴BC=BE+CE=AB+CD；
（2）①BC=AB+AD，思路如下：
延长BA到点E，使BE=BC，连接ED，EC，如图2所示：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵BD=BD，
∴△BED≌△BCD（SAS），
∴DE=DC，∠BDE=∠BDC=150°
∴∠EDC=360°-150°-150°=60°，
∴△CDE为等边三角形，
∵∠ACD=30°，
∴∠ACE=∠ACD=30°
∴AC垂直平分DE．
∴AD=AE，
∴BC=BE=AB+AE=AB+AD；
②∠ADB=120°+α．理由如下：
同①，延长BA到点E，使BE=BC，连接ED，EC，如图3所示：
∵∠ACD=30°，∠ACB=60°-α，
∴∠BCD=30°-α，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=α，
∴∠BDC=180°-∠CBD-∠BCD=180°-α-（30°-α）=150°，
∵BD=BD，
∴△BED≌△BCD（SAS），
∴DE=DC，∠BDE=∠BDC=150°，∠BED=∠BCD=30°-α，
∴∠EDC=360°-150°-150°=60°，
∴△CDE为等边三角形，
∵∠ACD=30°，
∴∠ACE=∠ACD=30°，
∴AC垂直平分DE．
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠BED=30°-α，
∴∠ADB=150°-（30°-α）=120°+α．