求证:对任意的A,B属于R,cot(A+B)不等于cotA+cotB

Question

求证:对任意的A,B属于R,cot(A+B)不等于cotA+cotB

Answer 1

证明：通过反正法,假设存在对任意的A,B属于R,存在cot(A+B)等于cotA+cotB
因为是的 cotA,cotB有意义,tanA≠0,tanB≠0
则cot(A+B)＝1/tan(A+B)=(1-tanAtanB)/(tanA+tanB)
cotA+cotB =1/tanA +1/tanB =(tanA+tanB)/(tanAtanB)
根据假设有 (1-tanAtanB)/(tanA+tanB) =(tanA+tanB)/(tanAtanB)
则 (1-tanAtanB)tanA tanB =(tanA+tanB)^2
(tanA+tanB)^2 - tanAtanB + (tanAtanB)^2=0 （1）
分两种情况 ,
（a） 若 tanAtanB 0 ,则（1）式左边重新整理为
(tanA-tanB)^2 + 3 tanAtanB + (tanAtanB)^2 一定大于 0,与假设推导（1）式等于0矛盾.
综合（a）（b）可以得到,无论什么情况都与假设矛盾,原假设相等不成立,所以应该等.
原命题得证.