设实数a,b满足a^2(b^2+1)+b(b+2a)=40.a(b+1)=8.求a^2分之一+b^2分之一的值

Question

设实数a,b满足a^2(b^2+1)+b(b+2a)=40.a(b+1)=8.求a^2分之一+b^2分之一的值

Answer 1

a²(b²+1)+b(b+2a)=40
a²b²+a²+b²+2ab=40
a²b²+(a+b)²=40 （1）
a（b+1）+b=8
ab+a+b=8；
ab+(a+b)=8；
两边平方得：
a²b²+2ab(a+b)+(a+b)²=64；（2）
（2）-（1）式得：
2ab(a+b)=24；
ab(a+b)=12；
ab+(a+b)=8；
设x=ab；y=a+b；
xy=12；（3）
x+y=8；（4）
由（4）得
y=8-x
代入（3）
x(8-x)=12
8x-x²=12
x²-8x+12=0
(x-6)(x-2)=0
x=6或x=2
y=2或y=6
1/a²+1/b²
=(a²+b²)/a²b²
=[(a+b)²-2ab]/a²b²
=[y²-2x]/x²
当x=6；y=2时：
原式=[2²-12]/6²=-8/36=-2/9(舍去,因为1/a²+1/b²>0）；
当x=2；y=6时：
原式=[6²-4]/2²=32/4=8；
所以：1/a²+1/b²=8.