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定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log,2,3且对任意x,y€R都有f(x+y)(1)求证f(x)为奇函数
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定义在R上的单调函数f(x)满 足f(3)=log,2,3且对任意x,y€R都有f(x+y) (1)求证f(x)为奇函数
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答案和解析
(1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),①
令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.
令y=﹣x,代入①式,得f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x),
又f(0)=0,则有0=f(x)+f(﹣x).
即f(﹣x)=﹣f(x)对任意x∈R成立,
所以f(x)是奇函数.
令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.
令y=﹣x,代入①式,得f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x),
又f(0)=0,则有0=f(x)+f(﹣x).
即f(﹣x)=﹣f(x)对任意x∈R成立,
所以f(x)是奇函数.
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