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定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log,2,3且对任意x,y€R都有f(x+y)(1)求证f(x)为奇函数
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定义在R上的单调函数f(x)满 足f(3)=log,2,3且对任意x,y€R都有f(x+y) (1)求证f(x)为奇函数
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答案和解析
（1）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x,y∈R）,①
令x=y=0,代入①式,得f（0+0）=f（0）+f（0）,即f（0）=0．
令y=﹣x,代入①式,得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）,
又f（0）=0,则有0=f（x）+f（﹣x）．
即f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R成立,
所以f（x）是奇函数．
令x=y=0,代入①式,得f（0+0）=f（0）+f（0）,即f（0）=0．
令y=﹣x,代入①式,得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）,
又f（0）=0,则有0=f（x）+f（﹣x）．
即f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R成立,
所以f（x）是奇函数．
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