将方程y''+(siny-x)(y')^3=0转换为以X为因变量,y为自变量的方程,再求该方程的通解,

Question

将方程y''+(siny-x)(y')^3=0转换为以X为因变量,y为自变量的方程,再求该方程的通解,

Answer 1

设p=dx/dy,所以：
dy/dx=1/p
d(dy/dx)/dx=d(1/p)/dx=d(1/p)/dy·(dy/dx)=-(1/p³)(dp/dy)
所以原式等价于：
-(1/p³)[(dp/dy)+siny-x]=0
当p≠0时有：
(dp/dy)+siny-x=0
整理为以x为因变量,y为自变量的非齐次二阶微分方程：
x``-x=siny
首先根据相应齐次方程的解得到部分x=C1·exp(y)+C2·exp(-y)
再根据非齐次因子得到方程的特解形式为：x=Acosy+Bsiny
代入方程解得：A=0 B=1/2
综上得到方程的通x=(1/2)siny+C1·exp(y)+C2·exp(-y)