求过平面2x+y=0和平面4x+2y+3z=6的交线,并切于球面x²+y²+z²=4的平面方程

Question

求过平面2x+y=0和平面4x+2y+3z=6 的交线,并切于球面x²+y²+z²=4的平面方程

Answer 1

过平面 2x+y=0 和 4x+2y+3z=6 的交线的平面可设为 m(2x+y)+n(4x+2y+3z-6)=0 ,
即 (2m+4n)x+(m+2n)y+3nz-6n=0 ,
因为平面与球面相切,因此球心到平面的距离等于球半径,
即 | -6n | / √[(2m+4n)^2+(m+2n)^2+(3n)^2] = 2 ,
化简得 -20(2n+m)^2=0 ,
因此 2n+m=0 ,取 m=2 ,n = -1 ,代入可得所求平面方程为 2(2x+y)-(4x+2y+3z-6)=0 ,
化简得 z-2=0 .