设y=ax（0＜x＜1）与抛物线y=x2所围图形的面积为S1，该直线与抛物线和直线x=1所围图形的面积为S2．（1）试确定a的值使S1+S2达到最小；（2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转所得旋转体

Question

设y=ax（0＜x＜1）与抛物线y=x²所围图形的面积为S₁，该直线与抛物线和直线x=1所围图形的面积为S₂．（1）试确定a的值使S₁+S₂达到最小；
（2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积．

Answer 1

（1）据题意，可以画出图形如下：

S1＝

∫

a 0

(ax−x2)dx＝(a3)/(6)，S₂=

∫

1 a

(x2−ax)dx＝(1)/(3)−(a2)/(2)+(a3)/(6)．
所以S＝S1+S2＝(1)/(3)−(a)/(2)+(a3)/(3)．
S′＝−(1)/(2)+a2
令S′＝−(1)/(2)+a2＝0，
得a＝(√(2))/(2)或a＝−(√(2))/(2)（舍去）
S''=2a，
S″((√(2))/(2))＝√(2)＞0
所以当a＝(√(2))/(2)时阴影部分的面积S₁与S₂之和最小．
（2）V＝π

∫	(√(2))/(2) 0

((√(2)x)/(2))2dx−π

∫	(√(2))/(2) 0

x4dx+π

∫	1 (√(2))/(2)

x4dx−π

∫	1 (√(2))/(2)

((√(2)x)/(2))2dx
=(√(2)+1)/(30)π．
所以旋转体的体积为(√(2)+1)/(30)π．