（2014•济南）如图1，抛物线y=-316x2平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影；（

Question

（2014•济南）如图1，抛物线y=-(3)/(16)x²平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．
（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S_阴影；
（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，∠PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究：
①t为何值时△MAN为等腰三角形；
②t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．

Answer 1

（1）设平移后抛物线的解析式y=-(3)/(16)x²+bx，
将点A（8，0）代入，
得y=-(3)/(16)x2+(3)/(2)x，
顶点B（4，3），
S_阴影=OC×CB=12．

（2）直线AB的解析式为y=-(3)/(4)x+6，
作NQ垂直于x轴于点Q
①当MN=AN时，N点的横坐标为(8+t)/(2)，纵坐标为(24−3t)/(8)，
由三角形NQM和三角形MOP相似可知(NQ)/(OM)＝(MQ)/(OP)，
((24−3t)/(8))/(t)=((8−t)/(2))/(6)，
解得t₁=(9)/(2)，t₂=8（舍去）．
当AM=AN时，AN=8-t，
由三角形ANQ和三角形APO相似可知NQ=(3)/(5)（8-t），AQ=(4)/(5)（8-t），MQ=(8−t)/(5)，
由三角形NQM和三角形MOP相似可知(NQ)/(OM)＝(MQ)/(OP)
得：((3)/(5)(8−t))/(t)=((8−t)/(5))/(6)，
解得：t=18（舍去）．
当MN=MA时，∠MNA=∠MAN＜45°，
故∠AMN是钝角，显然不成立，故t=(9)/(2)．
②方法一：作PN的中点E，连接EM，则EM=PE=(1)/(2)PN，
当EM垂直于x轴且M为OQ中点时PN最小，
此时t=3，证明如下：
假设t=3时M记为M₀，E记为E₀
若M不在M₀处，即M在M₀左侧或右侧，
若E在E₀左侧或者E在E₀处，则EM一定大于E₀M₀，而PE却小于PE₀，这与EM=PE矛盾，
故E在E₀右侧，则PE大于PE₀，相应PN也会增大，
故若M不在M₀处时PN大于M₀处的PN的值，
故当t=3时，MQ=3，NQ=(3)/(2)，
根据勾股定理可求出PM=3

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